Bài giảng Đại số Lớp 9 - Chuyên đề: Bất đẳng thức - Nguyễn Đình An

 Nhiệt liệt chào mừng các thầy cô!
 ĐẠI SỐ 9:
 Chuyên đề :Bất Đẳng Thức
 Giáo viên :Nguyễn Đình An PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN
I.Định nghĩa:
II.Tính chất:
 +Tính chất 1:(bắc cầu)a>b và b>c=>a>c
 +Tính chất 2:a>ba+c>b+c
 Hệ quả:a>b+ca-c>b
 +Tính chất 3:a>b và c>d=>a+c>b+d
 ac> bc
 
 <
 +Tính chất 4: a>b ac bc
 
 ac= bc
 +Tính chất 5:a>b>0 và c>dac>bd
 +Tính chất 6:a>b>0,n∈ N*
 nn
 + Tính chất 7: a > b >0, n ∈N* => ab>
 22
 Hệ quả: (a, b ≥ 0) : a≥ b ⇔≥⇔ ab a ≥ b
 11
 +Tính chất 8: a > b, ab > 0 ⇒<
 ab
 mn
 ∈ >⇒ >
 +Tính chất 9: a > 1; m, n N*, mn amn a
 0⇒ a < a PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN
I.Định nghĩa:
II.Tính chất:
III.Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
 1.Phương pháp qui ước đúng
 2.Phương pháp phân tích
 3.Phương pháp tổng hợp
 4.Phương pháp bất đẳng thức thông dụng
 5.Phương pháp sử dụng 2 bộ n sắp thứ tự
 6.Phương pháp giải tích
 7.Phương pháp phản chứng
 8.Phương pháp bất phương trình
 9.Phương pháp tam thức bậc hai
 10.Phương pháp chọn phần tử lớn nhất
 11.Phương pháp đánh giá từng nhóm số hạng
 12.Phương pháp hình giải tích
 13.Phương pháp chọn cơ sở cho hình học
 14.Phương pháp bất đẳng thức SCHWARTZ
 15.Phương pháp ước lượng Non-Già
 16.Phương pháp đổi biến
 17.Phương pháp lượng giác
 18.Phương pháp qui nạp toán học. Bài toán A
 Chứng minh rằng: 
 m2 – mn + n2 ≥ 0 , với mọi m, n
Giải: Ta có m22−+ mn n
 2
 2 1 1 1422
 =(m) −2( mn) + n −+ n n
 2 2 44
 2
 132
 =−+≥mn n0
 24
 Vậy m2 – mn + n2 ≥ 0 , với mọi m, n Chứng tỏ rằng : 
Bài toán 1 x2 + y2 + xy - 3x - 3y + 3 ≥ 0
Nếu ta thay m = x; n = y và x, 2y khác 0
 ( xy− )
Ta có: x22−+≥ xy y 0; ≥0
 xy22
 2
 ( xy− )
Vậy ( x22−+ xy y ).0 ≥
 xy22
 x2−+ xy y 22 x −2 xy + y 2
 ⇔≥.0
 xy xy
 x yx  y 
 ⇔ −+1  − 20 +  ≥
 y xy  x 
 x22 y xy
 ⇔ + +−43 + ≥ 0
 y22 x yx Bài toán 2 (Cách 1)
 x22 y xy
 Với x, y ≠ 0, +− 34 ++
 y22 x yx
 2
 x22 y xy xy xy xy
 = ++ − ++=+ − ++
 2223232
 y x yx yx yx yx
 xy xy x y xy
 Đặt aa=+⇒ = + = + ≥.2 =
 yx yx y x yx
 2 2
Xét f(x) = a −+ 3a 2 với a≥ 2a = − 2aa2aa2 −+=( −) −( a2 −)
 =−−( a2a1)( 0.)
 a2≥
 Do a≥⇒ 2  ⇒−a 2 và a − 10 cùng dấu
 a2≤−
 2
 xy xy
Vậy f(a) ≥ 0, với mọi |a| ≥ 2. Suy ra: + −3 + +≥ 20
 yx yx
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y ≠ 0 Bài toán 2 (Cách 3)
 xy22 xy xy2233 xy
 +− 3 ++≥⇔+−−+≥ 40 40
 yx22 yx yx22 yx
⇔+−x4 y 4334 x 3 y − xy 3 + x 22 y ≥ 0
⇔( x4 +− y 4 xyxy 3 − 3) −(224 xy 3 + xy 3 − xy 22) ≥ 0
 3 3 22
⇔xxy( −+) yxy( −) −2 xyx( +− y 20 xy) ≥
 2
⇔−( xy).2( x33 − y) − xyxy( −) ≥ 0
 22
⇔−( x y) .( x22 ++ xy y) − 20 xy( x − y) ≥
 2 2
 2 22 2 yy3
⇔−( x y) .2( x ++− xy y xy) ≥⇔0.( xy −)  x − + ≥ 0
 24
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y ≠ 0 Bài toán 3 (Cách 1) 
 Chứng minh rằng: x 44 +≥ y x 3 y + xy 3 , với mọi x, y.
 x44+≥+⇔−+−≥ y x 3 y xy 3 x 43 x y y 4 xy 3 0
 ⇔xxy3( −) − yxy 3( −) ≥⇔ 0( xyx −)( 33 − y) ≥ 0
 2
 ⇔−(x y) ( x22 ++ xy y) ≥ 0
 2
 2 22y y3
 ⇔−(xy)  x + 2x ++ y ≥ 0
 2 44
 2
 2 y32
 ⇔−(xy)  x + + y ≥ 0
 24
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y Bài toán 3 (Cách 4) 
 1
(x44+− y) ( x 3 y + xy 3) =( 2x 4 + 2y 4 − 2x 3 y − 2xy 3)
 2
 1
=(x4 −++−+++− 2x 3 y x 22 y) ( y 4 2xy 3 x 22 y) ( x 4 y 4 2x 22 y )
 2 
 1 222
=(x2 −+−+−≥ xy) ( y2 xy) ( x22 y) 0
 2 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y