Bài tập ôn tập Toán Lớp 9 - Chương III: Góc với đường tròn - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Nguyễn Hiền

 NỘI DUNG TỰ HỌC 
 MÔN: TOÁN 9 
 Từ ngày 17/02/2020 đến 29/02/2020 
 CHƯƠNG III 
 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 I. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG 
1. Góc ở tâm 
 Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn đgl góc ở tâm. 
 Nếu 000 a 180 thì cung nằm bên trong góc đgl cung nhỏ, cung nằm bên 
 ngoài góc đgl cung lớn. 
 Nếu a 1800 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. 
 Cung nằm bên trong góc đgl cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn. 
 Ki hiệu cung AB là AB . 
2. Số đo cung 
 Số đo của cung AB được kí hiệu là sđAB . 
 Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. 
 Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 
 mút với cung lớn). 
 Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 . 
 Cung không có số đo 00 (cung có 2 mút trùng nhau). 
3. So sánh hai cung 
 Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: 
 Hai cung đgl bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. 
 Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn đgl cung lớn hơn. 
4. Định lí 
 Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđAB = sđAC + sđCB . 
Bài 1. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB R 2 . Tính số đo của hai cung AB ( cung 
 nhỏ và cung lớn). 
 ĐS: 9000 ;270 . 
Bài 2. Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1 số 
 2
 đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB. 
 R2 3
 ĐS: S . 
 4
 R 3
Bài 3. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và O; . Trên đường tròn nhỏ lấy 
 2
 Trang7 HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD. 
Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với 
 nhau sao cho sđBM 900 . Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại 
 E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. 
 Chứng minh rằng: 
 a) AB  DN b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD 
 song song với nhau. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N. 
 So sánh hai cung AC và BD. 
 HD: 
Bài 5. Cho đường tròn (O) và dây AB chia đường tròn thành hai cung thỏa: 
 1
 AmB  AnB . 
 3
 a) Tính số đo của hai cung AmB ,  AnB . 
 AB
 b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB là . 
 2
Bài 6. Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB và CD thỏa: AB 2 CD . Chứng minh: AB 
 < 2.CD 
 III. GÓC NỘI TIẾP 
1. Định nghĩa 
 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung 
 của đường tròn đó. 
 Cung nằm bên trong góc đgl cung bị chắn. 
2. Định lí 
 Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. 
3. Hệ quả 
 Trong một đường tròn: 
 a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. 
 b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng 
 nhau. 
 c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm 
 cùng chắn một cung. 
 d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo 
 bằng 600 . 
 a) So sánh các góc của tam giác ABC. 
 b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và 
 BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tia CI là tia phân giác của góc ACB. 
 HD: a) BAC 30000 60 90 
 Trang7 a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân. 
 b) Vẽ CH  AB. Chứng minh rằng tia CM là tia phân giác của góc HCO . 
 1
 c) Chứng minh rằng CD AE . 
 2
 HD: a) Chứng minh FAC và FEM vuông cân tại F AE = CM; 
 CAE  AEM 450 AC // ME ACEM là hình thang cân. 
 b) HCM  OMC OCM 
 CD CH DH 11
 c) HDC  ODM 1 CD ≤ MD CD CM AE . 
 MD MO DO 22
Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Biết A a 900 . Tính độ dài 
 BC. 
 HD: Vẽ đường kính BD. BDC  BAC a . BCBDD .sin 2 R sina . 
Bài 9. Cho đường tròn (O) có hai bán kính OA và OB vuông góc. Lấy điểm C trên 
 sd AC 4
 đường tròn (O) sao cho . Tính các góc của tam giác ABC. 
 sdBC 5
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A và có góc A bằng 500 . Nửa đường tròn 
 đường kính AC cắt AB tại D và BC tại H. Tính số đo các cung AD, DH và HC. 
Bài 11. Cho đường tròn (O) có đường kính AB vuông góc dây cung CD tại E. 
 Chứng minh rằng: CD2 4. AE BE . 
 IV. GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 
1. Định lí 
 Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. 
2. Hệ quả 
 Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp 
 cùng chắn một cung thì bằng nhau. 
3. Định lí (bổ sung) 
 Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có 
 số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc 
 đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. 
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm 
 M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. 
 a) Chứng minh rằng tia CA là tia phân giác của góc MCH. 
 b) Giả sử MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a. 
 HD: a) ACH  ACM B 
 b) Chứng minh MAMB. MC2 MBa 4 , AB 3 a . MC.OC = CH.OM 
 6
 CH a . 
 5
Bài 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp 
 điểm của đường tròn trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi M, N, P lần lượt là các 
 Trang7 
 V. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. 
 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN. 
Định lí 1 
 Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị 
 chắn. 
 Định lí 2 
 Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị 
 chắn. 
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và 
 AC lần lượt lấy các điểm I và K sao cho AI  AK . Dây IK cắt các cạnh AB, AC 
 lần lượt tại D và E. 
 a) Chứng minh rằng ADK  ACB . 
 b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì thì tứ giác DECB là hình thang cân. 
 sd AK sdBI  AB
 HD: a) ADK sd C b) CB  . 
 22
Bài 2. Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D 
 thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN 
 và DN lần lượt cắt đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) 
 tại N cắt đường thẳng AB tại I. Chứng minh rằng: 
 AE AF
 a) Các tam giác INE và INF là các tam giác cân. b) AI . 
 2
 1
 HD: a) INE sdCN  E b) AI AE IE, AI AF IF đpcm. 
 2
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của góc B và góc 
 C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh 
 AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 
 a) Tam giác AMN là tam giác cân. 
 b) Các tam giác EAI và DAI là những tam giác cân. 
 c) Tứ giác AMIN là hình thoi. 
 HD: a) DADCEAEBFBFC  ,,   AMN  ANM 
 b) DAI  DIA DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN 
 đpcm. 
Bài 4. Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ 
 đường kính BD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng 
 M là trung điểm của AB. 
 Trang7