Đề cương ôn tập Đại số Lớp 9 - Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, 
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. Tĩm tắt phương pháp 
Bước 1 : Lập hệ phương trình(phương trình) 
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thơng thường ẩn là đại lượng mà bài tốn yêu 
cầu tìm). 
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. 
3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lượng. 
Bước 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình) 
Bước 3 : Kiểm tra nghiệm của phương trình và hệ phương trình. 
Bước 4 : Đưa ra kiết luận cho bài tốn. 
Dạng 1: Chuyển động 
 (trên đường bộ, trên đường sơng cĩ tính đến dịng nước chảy) 
Bài 1. Hai ơ tơ đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận 
tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận 
tốc mỗi xe. 
 Lời giải. 
Gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h). Đk: x > 0 
Vận tốc xe thứ nhất là x + 10 (km/h) 
Thời gian xe thứ nhất đi quảng đường từ A đến B là : 200 (giờ) 
 x 10+
Thời gian xe thứ hai đi quảng đường từ A đến B là : 200 (giờ) 
 x
Xe thứ nhất đến B sớm 1 giờ so với xe thứ hai nên ta cĩ phương trình: 
200200
 −=1 
 xx10 +
Giải phương trình ta cĩ x1 = 40 , x2 = -50 ( loại) 
x1 = 40 (TMĐK). Vậy vận tốc xe thứ nhất là 50km/h, vận tốc xe thứ hai là 40km/h. 
Bài 2. Cho quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe 
máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ơ tơ cũng đi từ A để tới B Vận tốc của ca nơ khi xuơi dịng là x +4 (km/giờ), khi ngược dịng là x - 4 
 30
 (km/giờ). Thời gian ca nơ xuơi dịng từ A đến B là giờ, đi ngược dịng 
 x + 4
 30
 từ B đến A là giờ. 
 x − 4
 30 30
 Theo bài ra ta cĩ phương trình: +=4 (4) 
 xx+−44
 (4) 30(x −+ 4) 30( x += 4) 4( x + 4)( x − −−= =− 4) x2 15 x 16 0 x 1
 hoặc x = 16. Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại 
 Vậy vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng là 16km/giờ. 
Bài 4. Khoảng cách giữa hai bến sơng A và b là 30 km. Một ca nơ đi xuơi dịng từ 
bến A đến bến B rồi lại ngược dịng từ bến B về bến A. Tổng thời gian ca nơ đi xuơi 
dịng và ngược dịng là 4 giờ . Tìm vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng, biết vận tốc 
của dịng nước là 4 km/h. 
 Lời giải. 
Gọi vận tốc của ca nơ khi nước yên lặng là x(km/h) (đk: ) 
Vận tốc của ca nơ khi xuơi dịng: x + 4 (km/h) 
Vận tốc của ca nơ khi ngược dịng: x – 4 (km/h) 
 30
Thời gian ca nơ đi xuơi dịng: (h) 
 x + 4
 30
Thời gian ca nơ đi ngược dịng: (h) 
 x − 4
Tổng thời gian ca nơ đi xuơi dịng và ngược dịng là 4h nên ta cĩ phương trình: 
 + = 4 x2 – 15x – 16 = 0 
 x1 =−1( không thỏa ĐK )
Giải phương trình trên ta được: 
 x2 = 16( thỏa ĐK )
Vậy vận tốc của ca nơ khi nc yên lặng là 16km/h 
Bài 5. Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một 
xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ơ tơ khởi hành từ Bồng 
Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bài 7.Một ơtơ đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận 
tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm 
hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. 
Bài 8.Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định 
 1
trước. Sau khi được quãng đường AB người đĩ tăng vận tốc thêm 10 km/h trên 
 3
quãng đường cịn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết 
rằng người đĩ đến B sớm hơn dự định 24 phút. 
Bài 9. Một canơ xuơi từ bến sơng A đến bến sơng B với vận tốc 30 km/h, sau đĩ 
lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuơi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. 
Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dịng nước là 5 km/h và 
vận tốc riêng của canơ lúc xuơi và lúc ngược bằng nhau. 
Bài 10. Một canơ xuơi một khúc sơng dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời 
gian xuơi dịng sơng nhiều hơn thời gian ngược dịng là 2 giờ và vận tốc khi xuơi 
dịng hơn vận tốc khi ngược dịng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canơ lúc xuơi và lúc 
ngược dịng. 
Dạng 2: Tốn làm chung – làm riêng (tốn vịi nước) 
Bài 11. Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 
 12
Hai người cùng làm chung một cơng việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm 
 5
một mình thì người thứ nhất hồn thành cơng việc trong ít hơn người thứ hai là 2 
giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong 
cơng việc? 
 Lời giải. 
Gọi thời gian người thứ nhất hồn thành một mình xong cơng việc là x (giờ), ĐK 
 12
x 
 5
Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là x + 2 (giờ) 
 1 1
Mỗi giờ người thứ nhất làm được (cv), người thứ hai làm được (cv) 
 x x + 2 Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vịi sau chảy lâu hơn vịi trước 4 giờ tức là 
y – x = 4 
Vậy ta cĩ hệ phương trình 
 x = 6
 1 1 4 x = 6 (a)
 + = 4x 2 −14x − 60 = 0 2x 2 − 7x − 30 = 0 y =10
 x = −2,5 
 x x + 4 5 
 y = x + 4 y = x + 4 x = −2,5
 y = x + 4 y = x + 4 (b)
 y =1,5
Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn 
Hệ (b) bị loại vì x < 0 
Vậy Vịi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h 
 Vịi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h 
Bài 13.Hai người thợ cùng làm một cơng việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa 
việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người 
chỉ làm việc đĩ trong 6 giờ. Như vậy , làm việc riêng rẽ cả cơng việc mỗi người 
mất bao nhiêu thời gian ? 
 Lời giải. 
Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa cơng việc là x ( x > 0 ) 
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa cơng việc là y ( y > 0 ) 
 1
Ta cĩ pt : x + y = 12 ( 1 ) 
 2
 thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong cơng việc là 2x => 1 giờ người thứ 
 1
nhất làm được cơng việc 
 2x
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong cơng việc là 2y => 1 giờ người 
thứ hai làm được 1 cơng việc 
 2y
 1 1
1 giờ cả hai người làm được cơng việc nên ta cĩ pt : + = (2) 
 6 6 Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đường là x + 6 ( giờ ) 
 1
Trong 1 giờ tổ 1 sửa được ( con đường ) 
 x
 1
Trong 1 giờ tổ 2 sửa được (con đường ) 
 x + 6
 1
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa được (con đường ) 
 4
 2
Vậy ta cĩ pt: + = 4(x + 6) + 4x = x(x + 6) x − 2x − 24 = 0 x1= 6; x2 = 
-4 
X2 = - 4 < 4 , khơng thoả mãn điều kiện của ẩn 
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đường hết 6 ngày 
 một mình tổ 2 sửa xong con đường hết 12 ngày 
Bài 16. Hai đội cơng nhân làm một đoạn đường . Đội 1 làm xong một nửa đoạn 
đường thì đội 2 đến làm tiếp nửa cịn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã 
làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đường .Hỏi 
mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này ? 
 Lời giải. 
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( 
ngày ) 
 1
Mỗi ngày đội 1 làm được ( đoạn đường ) 
 2x
Mỗi ngày đội 2 làm được 1 ( đoạn đường ) 
 2(x + 30)
 1
Mỗi ngày cả hai đội làm được ( đoạn đường ) 
 72
 1
Vậy ta cĩ pt : + = 
 72
 Hay x2 -42x – 1080 = 0 
/ = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 
 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 khơng thoả mãn đk của ẩn 
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày . Gọi x , y lần lượt là số giờ người thứ nhất người thứ hai một mình làm xong cơng 
việc đĩ ( x > 0 , y > 0 ) 
 1 1 1
 + =
 x y 16 x = 24
Ta cĩ hệ pt 
 3 6 1 y = 28
 + = 
 x y 4
Bài 19. Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể . 
 2
Nếu vịi thứ nhất chảy trong 2 giờ , vịi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được bể . Hỏi 
 5
mỗi vịi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ? 
 Lời giải. 
Gọi x , y lần lượt là số giờ vịi thứ nhất , vịi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 
, y > 0 ) 
 1 1 1 3 3 1
 + = + =
 x y 6 x y 2 x = 10
Ta cĩ hệ pt 
 2 3 2 2 3 2 y = 15
 + = + = 
 x y 5 x y 5
x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vịi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ, 
vịi thứ hai chảy một mình mất 15 giờ . 
Bài 20. Hai người dự định làm một cơng việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với 
nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ , cịn người thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do 
cố gắng tăng năng suất gấp đơi , nên người thứ hai đã làm xong cơng việc cịn lại 
trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định 
ban đầu thì mất bao lâu mới xong cơng việc nĩi trên ? 
 Lời giải. 
Gọi x , y lần lượt là thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm xong 
cơng việc với năng suất dự định ban đầu . 
 1
Một giờ người thứ nhất làm được (cơng việc ) 
 x
Một giờ người thứ hai làm được 1 (cơng việc ) 
 y
 1
Một giờ cả hai người làm được (cơng việc ) 
 12 1 1 1 504
 + = x = =168
 x y 72 3
 1 1 1 504
Ta cĩ hpt : + = y = =126 
 x z 63 4
 1 1 1 504 5
 + = z = =100
 y z 56 5 4
 1 1 12
Nếu cả ba người cùng làm yhì mỗi giờ làm được + 1 + = ( cơng việc ) 
 x y z 504
 504
Vậy cả ba ngưịi cùng làm sẽ hồn thành cong việc trong = 42 (giờ ) 
 12
Bài 22. Hai đội cơng nhân cùng làm chung một cơng việc . Thời gian để đội I làm 
một mình xong cơng việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong cơng việc 
đĩ là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để 
xong cơng việc đĩ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong . 
 Lời giải. 
Gọi thời gian đội I làm một mình xong cơng việc là x giờ ( x > 0 ) 
Suy ra thời gian đội II làm một mình xong cơng việc là x + 4 giờ 
 1 1 2x + 4
Trong 1 giờ hai đội làm chung được : + = ( cơng việc ) 
 x x + 4 x(x + 4)
 x(x + 4)
Thời gian để hai đội làm chung xong cơng việc là (giờ) 
 2x + 4
 2
Vậy ta cĩ pt : 2x + 4 = 4,5 . hay x + 4x – 32 = 0  x1 = - 8 ( loại ) x2 = 4 ( 
thoả mãn điều kiện của ẩn ). 
Vậy Đội I làm một mình xong cơng việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ . 
Bài tập vận dụng. 
Bài 23. Hai người thợ cùng làm chung một cơng việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. 
Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người 
chỉ làm được 3 cơng việc. Hỏi một người làm cơng việc đĩ trong mấy giờ thì xong? 
 4 Lời giải. 
Gọi số kg giấy vụn tổ 1 được bí thư chi đồn giao là x (kg) 
( Đk : 0 < x <10) 
Số kg giấy vụn tổ 2 được bí thư chi đồn giao là y (kg) ( Đk : 0 < x <10 ) 
 xy+=10
Theo đầu bài ta cĩ hpt: 
 1,3xy+= 1,2 12,5
Giải hệ trên ta được : (x; y ) = (5;5) 
Trả lời : số giấy vụn tổ 1 được bí thư chi đồn giao là 5 kg 
 Số giấy vụn tổ 2 được bí thư chi đồn giao là 5 kg 
Bài tập vận dụng. 
Bài 28. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, 
tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính 
xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?. 
Bài 29. Năm ngối tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A 
năm nay tăng 1,2%, cịn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 
4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngối và năm nay? 
Dạng 4: Tốn cĩ nội dung hình học. 
Bài 30. Một hình chữ nhật cĩ chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm 
mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài 
hình chữ nhật đã cho. 
 Lời giải. 
Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4. 
 x
Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là: (m) 
 2
 x x 2
=> diện tích hình chữ nhật đã cho là: x. = (m2) 
 2 2
Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: 
 x
x − 2 va − 2 (m) 
 2
khi đĩ, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta cĩ phương trình: 
 x 1 x 2
(x − 2)( − 2) =  
 2 2 2 Bài 32. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung 
quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng 
đất cịn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2. 
Bài 33. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 
m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì 
diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. 
Bài 34. Cho một tam giác vuơng. Nếu tăng các cạnh gĩc vuơng lên 2 cm và 3 cm 
thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ 
giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh gĩc vuơng. 
Dạng 5: Tốn về tìm số. 
Bài 35. Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ 
hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đĩ tăng thêm 27 đơn vị. 
 Lời giải. 
Gọi số tự nhiên cần tìm là: ab (a 0 ) 
Tổng các chữ số bằng 11 nên: ab+=11 (1) 
Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đĩ tăng thêm 27 
đơn vị do đĩ: baab−=27 +−+= −= −(10102799273b aa) ( baba (2) = b) 
 aba+== 117
Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình: 
 abb−== 34
 Vậy số cần tìm là 74. 
Bài tập vận dụng: 
Bài 36. Tìm một số cĩ hai chữ số, biết rằng số đĩ gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của 
nĩ và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nĩ thì được thương là 4 và số dư 
là 3. 
Bài 37. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đơi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của 
 1 5
phân số bằng . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . 
 4 24
Tìm phân số đĩ. 
Bài 38. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. 
 3
Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng . Tìm phân số đĩ. 
 2