Đề kiểm tra giữa học kì II Toán 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Trường Sơn (Có đáp án)

 UBND HUYỆN AN LÃO KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
TRƯỜNG THCS TRƯỜNG SƠN Năm học 2023 – 2024
 ĐỀ THI MÔN TOÁN 
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao 
 đề)
 Lưu ý: Đề thi gồm 02 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy 
 thi
 Bài 1 (1,5 điểm): 
 3
 Cho các biểu thức A = 11- 4 7 
 7 - 2
 æ 1 1 ö x + 3
 và ç ÷ (với x > 0; x ¹ 9 ).
 B = ç + ÷.
 èç x + 3 x - 3ø÷ x
 a) Rút gọn các biểu thức A, B.
 - A
 b) Tìm các giá trị của x để B = 
 2
 Bài 2. (1,5 điểm).
 ïì 2
 ï x + 2 + = 9
 ï y - 3
 1. Giải hệ phương trìnhíï . 
 ï 1
 ï 2x + 4- = 8
 ï
 îï y - 3
 2. Nhiệt độ ở mặt đất đo được khoảng 300C. Biết rằng cứ lên 1km thì nhiệt độ giảm đi 50. 
 a) Hãy lập hàm số T theo h, trong đó T là nhiệt độ khi ở độ cao h(km) so với mặt đất( tính 
 bằng (0C)) và h tính bằng ki-lô-mét (km).
 b) Nếu đo được nhiệt độ tại vị trí đó là 150C thì vị trí đó cách mặt đất là bao nhiêu km? 
 Bài 3. (2,5 điểm). 
 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1- m
 a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = -1.
 b) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn: 
 x 1 + x2 = 3 
 2. Bài toán thực tế:
 Buổi họp tổng kết năm học 2022-2023 của trường THCS A dự kiến có 120 người dự 
 họp, nhưng khi họp có 160 người tham dự nên phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy phải kê 
 thêm một ghế nữa thì vừa đủ. Tính số dãy ghế dự định lúc đầu. Biết rằng số dãy ghế lúc đầu 
 trong phòng nhiều hơn 20 dãy ghế và số ghế trên mỗi dãy ghế là bằng nhau.
 Trang 1/1 Bài 4. (0,75 điểm).
Tính lượng vải cần mua để tạo ra nón của chú Hề trong 
hình bên. Biết rằng tỉ lệ khâu hao vải khi may nón là 
không đáng kể. 
(Lấy π ≈ 3.14) 
Bài 5. (3,0 điểm).
 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao 
AD,BE và CF cắt nhau tại H . Gọi giao điểm của AD với (O) là I ( I khác A).
 a) Chứng minh bốn điểm B, F E, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm M của 
đường tròn này.
 b) Tia IE cắt đường tròn (O) tại J ( J khác I), BJ cắt EF tại K, vẽ EL vuông góc với 
 · ·
AB tại L. Chứng minh FEB = BJI và BL.BA = BK .BJ . 
 c) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh ba điểm N, K, M thẳng hàng.
Bài 6. (0,75 điểm).
 Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 xy yz zx
 P = + + ×
 x + y + 2z y + z + 2x z + x + 2y
 ----- Hết -----
 Trang 2/1 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM
Câu Điểm
 1 a 3
 A = 11- 4 7 
 7 - 2
 2 3 7 + 2 0,25
 A = 2 7 
 7 4
 A = 2 7 7 2 
 A = 7 2 7 2 4 0,25
 æ 1 1 ö x + 3
 ç ÷ (với x > 0; x ¹ 9 )
 B = ç + ÷.
 èç x + 3 x - 3ø÷ x
 æ ö
 ç ÷
 ç x - 3 x + 3 ÷ x + 3
 B = ç + ÷. 0,25
 ç x + 3 x - 3 x + 3 x - 3 ÷ x
 èç( )( ) ( )( )ø÷
 2 x x + 3
 B = .
 ( x + 3)( x - 3) x
 2
 B = 0,25
 x - 3
 b Với x > 0; x ¹ 9
 - A 2
 Để B = Û = 2 0,25
 2 x - 3
 Û 2 x = 8 Û x = 4 Û x = 16(TMĐK)
 - A 0,25
 Vậy với x = 16thì B =
 2
 2 1 ïì 2
 ï x + 2 + = 9
 ï y - 3
 íï (ĐKXĐ: y ³ 0; y ¹ 9)
 ï 1
 ï 2x + 4- = 8
 ï
 îï y - 3
 ïì 2 ïì 2
 ï (x + 2)+ = 9 ï x + 2 + = 9
 ï y - 3 ï y - 3
 Û íï Û íï 0,25
 ï 1 ï 2
 ï 2 x + 2 - = 8 ï 4 x + 2 - = 16
 ï ( ) ï ( )
 îï y - 3 îï y - 3
 ì ì
 ï 5(x + 2) = 25 ï (x + 2) = 5 ïì x = 3 ïì x = 3
 ï ï ï ï 0,5
 Û í 2 Û í 2 Û í 7 Û í 49
 ï (x + 2)+ = 9 ï = 4 ï y = ï y = (TM )
 îï y - 3 îï y - 3 îï 2 îï 4
 Trang 3/1 2 a) Lập hàm số T theo h:
 T = 30- 5h(0C) 0,25
 b) Nhiệt độ tại vị trí đó là 150C thì vị trí đó cách mặt đất là:
 15 = 30- 5.h Û h = 3km
 Vậy tại độ cao là 3km thì nhiệt độ là 150 0,5
3 1 a)Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
 x2 = mx + 1- m Û x2 - mx - 1+ m = 0 (1)
 Số giao điểm của (d) và (P) là số nghiệm của pt (1)
 Thay m = -1 vào pt (1) ta được: 
 x2 + x - 2 = 0
 Û (x - 1)(x + 2) = 0
 éx = 1
 Û ê 0,25
 êx = - 2
 ëê
 Với x = - 1 Þ y = 1
 x = - 2 Þ y = 4
 Vậy với m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm (-1;1); (-2;4) 0,25
 2 2
 b)+ Xét D = b2 - 4ac = (- m) - 4(- 1+ m) = m2 - 4m + 4 = (m - 2)
 Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2
 Û pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2
 ì ì
 ï a ¹ 0 ï 1 ¹ 0
 Û í Û í Û m ¹ 2 (*) 0,25
 ï D > 0 ï m - 2 ¹ 0
 îï îï
 + Áp dụng hệ thức vi-et
 ïì x + x = m
 ï 1 2
 í
 ï x x = - 1+ m
 îï 1 2
 + Theo bài ra : x 1 + x2 = 3
 ĐK: x1 ³ 0,x2 ³ 0
 ïì x + x > 0 ïì m > 0
 ï 1 2 ï 0,25
 Û í Û í Þ m ³ 1
 ï x x ³ 0 ï m ³ 1
 îï 1 2 îï
 x1 + x2 + 2 x1x2 = 9
 Þ m + 2 - 1+ m = 9
 Û 2 - 1+ m = 9- m
 Û - 4 + 4m = 81- 18m + m2
 Û m2 - 22m + 85 = 0 0,25
 ém = 17
 Û ê (TMĐK)
 êm = 5
 ëê
 Vậy giá trị cần tìm của m là m Î {17;5} 0,25
 Trang 4/1 2 Gọi x (dãy) là số dãy ghế dự đinh lúc đầu( x N* và x 20 )
 Khi đó: Số dãy ghế lúc sau là: x 2 (dãy) 0,25
 120
 Số ghế trong mỗi dãy lúc đầu: (ghế)
 x
 160
 Số ghế trong mỗi dãy lúc sau: ghế
 x 2
 Do phải kê thêm mỗi dạy một ghế nữa thì vừa đủ nên ta có pt:
 160 120 0,25
 1
 x 2 x
 160x 120(x 2) x(x 2)
 x2 38x 240 0
 x 30(t / m) 0,25
 x 8 (lo¹i)
 0,25
 Vậy số dãy ghế dự định lúc đầu là 30 dãy
4 Gọi R là bán kính hình tròn lớn; r là bán kính hình tròn nhỏ.
 R=35:2=17,5(cm), r=17,5-10=7,5(cm)
 2 025
 Sxq = p.r .l » 3,14.7,5.30 = 706,5(cm )
 2 2 2
 Diện tích vành nón là: 3,14.(17,5 - 7,5 ) = 785(cm ) 0,25
 Diện tích vải cần mua để tạo ra nón là: 706,5 + 785 = 1491,5(cm2). 0,25
5
 Vẽ hình đúng câu a
 0,25
 a Xét tứ giác BFEC có:
 · 0 ïü
 BFC = 90 (CF ^ AB,F Î AB) ï · ·
 ýï Þ BFC = BEC 0,5
 B·EC = 900(BE ^ AC,E Î AC)ï
 þï
 Mà hai góc này kề nhau cùng nhìn BC
 Þ Tứ giác BFEC nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết)
 0,25
 Trang 5/1 Hay bốn điểm B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC 0,25
 Þ Tâm M của đường tròn đi qua bốn điểm này là trung điểm của BC.
b + Xét tứ giác AFDC có:
 · 0 ïü
 AFC = 90 (CF ^ AB,F Î AB) ï · ·
 ýï Þ AFC = ADC
 A·DC = 900(AD ^ BC,D Î BC)ï
 þï
 Mà hai góc này kề nhau cùng nhìn FD 0,25
 Þ Tứ giác AFDC nội tiếp ( DHNB)
 Þ F·AD = F·CD (cùng chắn cung FD)
 Hay B· AI = F·CB
 Mặt khác F·EB = F·CB (do tứ giác BCEF nội tiếp)
 Þ B· AI = F·EB
 · ·
 Mà BAI = BJI (góc nội tiếp cùng chắn cung BI) 0,25
 Þ F·EB = B· JI (đpcm)
 + Chứng minh được BL.BA = BE 2 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông 0,25
 AEB) (1)
 Xét DBEK và DBJE có: 
 Góc B chung; B·EK = B·JE 
 Suy ra DBEK đồng dạng với DBJE (góc-góc)
 Þ BK .BJ = BE 2 (2)
 0,25
 Từ (1) và (2) Þ BL.BA = BK .BJ (đpcm)
c + Chứng minh được tứ giác DHEC nội tiếp
 · · ïü
 FEB = FCB ï · ·
 + Ta có ýï Þ FEB = HED
 H·ED = F·CBï
 þï
 · · · 0 · ïü
 BFE = BFC + CFE = 90 + CFEï · 0 ·
 + Có ýï Þ BFE = 90 + CBE (1)
 C·FE = C·BE ï
 þï
 + Lại có:E·HI = H·BD + H·DB (góc ngoại của một tam giác)
 · · 0
 Û EHI = EBC + 90 (2)
 · ·
 Từ (1) và (2) Þ BFE = EHI hay B·FK = E·HI
 + Chứng minh được DBFK đồng dạng với DIHE (g.g)
 0,25
 BF FK
 Þ = (3)
 IH HE
 + Chứng minh được DHCI cân tại C
 Þ IH = 2DH (4)
 BF FK BF 2FK
 Từ (3) và (4) Þ = hay = (5)
 2DH HE DH HE
 + Chứng minh được DBFE đồng dạng với DDHE (g.g) 0,25
 BF FE
 Þ = (6)
 DH HE
 Trang 6/1 Từ (5) và (6) Þ FE = 2FK mà K Î FE Þ K là trung điểm của FE 
 ü 0,25
 NF = NK ï
 + Có ý Þ NM là đường trung trực của FE hay NM ^ FE
 MF = MK ï
 þï
 Suy ra N, K, M thẳng hàng.
6 xy yz zx
 P = + + ×
 (x + z)+ (y + z) (x + y)+ (x + z) (x + y)+ (y + z)
 2
 Áp dụng BĐT 2(a2 + b2) ³ (a + b) ta được 
 2xy 2yz 2zx
 P £ + + ×
 2 2 2 2 2 2
 ( x + z) + ( y + z) ( x + y) + ( x + z) ( x + y) + ( y + z)
 4xy 4yz 4zx
 P £ + + ×
 2 2 2
 ( x + y + 2 z) (2 x + y + z) ( x + 2 y + z)
 æ ö
 1 1ç1 1÷
 Áp dụng BĐT £ ç + ÷ ta được
 a + b 4èça bø÷
 æ xy xy yz yz ö
 1ç zx zx ÷
 P £ ç + + + + + ÷
 2èç x + z y + z x + y x + z x + y y + z ø÷
 1 1
 P £ x + y + z =
 2( ) 2
 1
 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
 9
 Chú ý:- Trên đây chỉ trình bày tóm tắt một cách giải, nếu thí sinh làm theo cách khác mà 
 đúng thì cho điểm tối đa ứng với điểm của câu đó trong biểu điểm. 
 - Thí sinh làm đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
 - Trong một câu, nếu thí sinh làm phần trên sai, dưới đúng thì không chấm điểm.
 - Bài hình học, thí sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm. Thí sinh không vẽ hình mà 
 làm vẫn làm đúng thì cho nửa số điểm của các câu làm được.
 - Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh công nhận ý trên để làm ý dưới mà 
 thí sinh làm đúng thì chấm điểm ý đó.
 - Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không được làm tròn.
 Trang 7/1