Chuyên đề Ứng dụng thực tế Hình học không gian

 ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN BÌNH THẠNH
 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 
 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ PHÚ MỸ
 TỔ TOÁN – TIN HỌC
 CHUYÊN ĐỀ
 ỨNG DỤNG THỰC TẾ 
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 2018 - 2019
 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
suốt quá trình trưởng thành, ta học hỏi và dần chiếm lĩnh được không gian, cũng như 
phát triển trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo của mình.
 Chúng ta đã được làm quen với các khối trong không gian qua những ví dụ cụ thể 
cũng như các hình ảnh của chúng trong cuộc sống. Việc nắm rõ tính chất của các khối 
cũng như hình dung được hình ảnh của khối từ các góc nhìn khác nhau là một trong 
những yếu tố quan trọng giúp cho việc định lượng các khối dễ dàng hơn. Nhưng tại sao 
ta cần phải định lượng chúng?
 Hãy nhớ lại xem mỗi ngày khi ta rót nước vào một chiếc cốc, lúc đi mua một hộp 
sữa trong cửa hàng tiện lợi hay mua giấy gói một món quà,  ta thường quan tâm đến 
điều gì? Hẳn suy nghĩ đầu tiên của chúng ta chính là liệu chúng có “vừa” không, có “phù 
hợp” với nhu cầu của ta hay không? Độ “vừa” hay “phù hợp” đó chính là nguyên nhân 
dẫn ta đến việc tìm hiểu thể tích hay diện tích xung quanh của một đồ vật. Vậy làm thế 
nào ta có được những thông tin này?
 Bây giờ, hãy tạm gác cuốn sách qua một bên và xuống bếp nhé. Tưởng tượng 
bạn vừa pha xong một bình cà phê và muốn chia đều cho 2 tách. Chưa hết, vì mục đích 
thẩm mỹ, bạn còn muốn chọn chiếc tách sao cho khi 
mực nước càng gần miệng tách càng tốt, rõ ràng khi đó 
ta chẳng có thời gian tra cứu thông tin về kích thước của 
từng chiếc tách (ôi nhưng nếu như bạn có “điện thoại 
thông minh” ở đó thì chuyện này cũng khả thi đấy), cũng 
không thể thí nghiệm rót ra từng loại tách để kiểm 
chứng. Như thế, đây là lúc mà những kỹ thuật tính toán, đo lường vào cuộc.
 Trong chuyên đề này, chúng ta cùng tìm hiểu về một số ứng dụng thực tế của hình 
học không gian thông qua một số bài tập cụ thể.
 Kính thưa quí Thầy(Cô), tuy cố gắng nhiều trong quá trình biên soạn, nhưng không 
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tổ Toán – Tin trường THCS Phú Mỹ rất mong nhận được 
ý kiến đóng góp chân thành và quí báu từ phía quí Thầy(Cô) đề chuyên đề được hoàn 
thiện hơn nữa.
 Xin chân thành cảm ơn quí Thầy(Cô).
 Tổ Toán – Tin 
 3 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 2: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều 
 cạnh 3cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón.
Hướng dẫn giải
 Kí hiệu như hình vẽ bên
 3 3
 DM BD.sin600 cm 
 2
 2
 DH DM 3 cm 
 3
 AH2 AD2 DH2 32 3 6
 AH 6 cm 
 Diện tích xung quanh:
 2
 Sxq .HD.AD 3.3 3 3 cm 
 Thể tích hình nón:
 1 1
 V .HD2.AH .3. 6 6 cm3 
 3 3
 Bài 3: Một hình nón có thiết diện đi qua trục là một tam giác đều, diện tích xung quanh 
 bằng 6 cm2. 
 a) Tính diện tích đáy 
 b) Tính chiều cao của hình nón
Hướng dẫn giải:
 a) Ta có:
 2
 Sđáy = π.r (1) 
 2
 Sxq = π.r.l mà l = 2r nên Sxq = 2π.r
 2
 Do Sxq = 6 nên 2π.r = 6 (2)
 2
 Từ (1) và (2) suy ra Sđáy = 3 (cm )
 3
 b) Từ (2) suy ra r 
 5 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 1: Cho hình nón cụt như hình bên. Hãy tính:
 a) Bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt 
 b) Diện tích xung quanh của hình nón cụt
Hướng dẫn giải 
 a) Áp dụng định lí PyTaGo vào tam giác vuông 
 AHB
 Ta có: HB AB2 AH2 100 64 6(cm)
 O’H = O’B – HB = 6 (cm) (vì H O’B)
 => r = OA = O’H = 6 (cm) (vì OAHO’ là hcn)
 Vậy bán kính đáy nhỏ của hình nón cụt là: 6 cm
 b) Diện tích xung quanh của hình nón cụt: 
 2
 S xq (r R) .l (6 12).10 180 (cm ) 
 Bài 2: Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước 
 cho ở hình 101. 
 a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
 b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải 
 a) Diện tích xung quanh của xô là:
 2
 S xq r1 r2 .l 21 9 .36 1080 cm 
 b) Chiều cao của hình nón lớn: 
 h 63 2 212 3528 59,397 cm 
 Chiều cao của hình nón nhỏ: 
 h' 27 2 92 648 25,456 cm 
 Thể tích của hình nón lớn:
 1 1
 V r 2h .3,14.212.59,397 27416,467 cm3 
 non lon 3 3
 Thể tích của hình nón nhỏ
 7 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 2: Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ của hình trụ, ta được 
 mặt cắt là hình chữ nhật ABCD với A và B ở trên đường tròn đáy (O), AOˆ B 900 ,
 AB 4 cm , AD 6 cm . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó. (“Trích 
 từ đề thi học kỳ 2 – 2007 – 2008 – Thừa Thiên Huế”)
Hướng dẫn giải
 Ta có: R = OA = OB và chiều cao của hình trụ là: 
 h = AD = 6 (cm)
 Tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O nên: 
 AB2 OA 2 OB2
 42 R2 R2
 2R2 16
 R2 8
 Từ đó suy ra:
 R OA OB 8 2 2 cm 
 Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
 S 2 rh 2. .2 2.6 24 2 cm2 
 Thể tích của hình trụ là:
 2
 V r 2.h . 2 2 .6 48 cm3 
 Bài 3: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng 
 diện tích vải cần để làm cái mũ đó biết rằng vành mũ hình tròn và ống mũ hình trụ.
Hướng dẫn giải
 Ống mũ là hình trụ với chiều cao h = 35cm, bán kính 
 đáy
 35 2.10
 R 7,5cm
 2
 Diện tích vải để làm ống mũ là:
 9 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 5: Một lọ vitamin C có dạng hình trụ với bán kính đáy là 1,5cm và chiều cao là 
 8cm. Những viên sủi vitamin C được đựng trong lọ cũng có dạng hình trụ với diện tích 
 9
 đáy bằng diện tích đáy lọ và thể tích mỗi viên là cm3 
 5
 a) Hỏi trong lọ có tổng cộng bao nhiêu viên vitamin C?
 b) Những lọ vitamin này được xếp thẳng đứng sát nhau vào một khay hình hộp 
 chữ nhật. Hỏi chiều dài và chiều rộng của khay là bao nhiêu để chứa được 20 
 lọ xếp thành 5 hàng, mỗi hàng 4 lọ?
Hướng dẫn giải
 Câu a Để xác định được số viên thuốc trong lọ, ta chỉ cần tìm được thể tích lọ rồi 
 chia kết quả cho thể tích từng viên. Vì lọ có dạng hình trụ nên để tìm thể tích ta 
 dùng công thức: V B.h r 2h trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao lọ.Rõ 
 ràng những thông tin này ta đều đã có.
 Để giải quyết câu b, ta hãy quan sát hình chiếu với phương chiếu vuông góc với 
 đáy khay, khi
 đó ta sẽ thấy hình ảnh như hình.
 2 3
 a) Thể tích V1 của chiếc lọ: V1 .1,5 .8 18 cm .
 9
 Mỗi viên thuốc có thể tích là V cm3 .
 2 5
 V 18 
 Ta xét tỉ số: 1 10 .
 V 9
 2 
 5
 11 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 7: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết 
 bán kính đáy bằng R = 5cm bán kính cổ r = 2m, AB = 3cm, BC = 6cm, CD = 16cm. 
 Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng bao nhiêu 
Hướng dẫn giải 
 2 3 A
 Thể tích khối trụ có đường cao CD: V1 R .CD 400 (cm ) .
 r
 B
 2 3 E
 Thể tích khối trụ có đường cao AB: V2 r .AB 12 (cm ) .
 AM C
 F
 B E
 r=2
 R=5
 C F
 AC CF 5
 Ta có AB 4 cm . D
 AB BE 2 R
 Thể tích phần giới hạn giữa BC: V (R2 .MC r 2 .MB) 78 (cm3 ) .
 3 3
 3
 Suy ra: V V1 V2 V3 490 (cm )
 Bài 8: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ dày của 
 thành ống là 15cm , đường kính của ống là 80cm . Lượng bê tông cần phải đổ là bao 
 nhiêu.
Hướng dẫn giải 
 Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài 
 và bên trong
 Do đó lượng bê tông cần phải đổ là: 
 2 2 3 3
 V V1 V2 .40 .200 .25 .200 195000 cm 0,195 m
 13 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 2: Một hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm 
 và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón. 
Hướng dẫn giải
 Gọi h là chiều cao, l là đường sinh của hình nón
 Ta có: l h2 32 h2 9 
 S .3. h2 9 .32
 tp non 
 3 3 h2 9 
 2
 S cau 4 .3 36 
 Ta có: 3 3 h2 9 36 
 h2 9 9 h2 9 81
 h2 72 h 6 2
 Chiều cao của hình nón bằng 6 2 cm 
 Bài 3: Một hình nón có đỉnh là tâm của hình cầu, có đáy là hình tròn tạo bởi mặt phẳng 
 hình cầu cách tâm hình cầu 9cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, 
 biết bán kính hình cầu là 41cm. 
Hướng dẫn giải
 Đường sinh của hình nón là bán kính của hình cầu 
nên: O
 l OA R 41(cm) 
 Khoảng cách từ tâm O của hình cầu đến đường tròn 
đáy của
 15 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 5: Một hình cầu nội tiếp một hình nón (hình bên dưới). Biết rằng bán kính hình cầu 
 OA = 5 (cm), OH = 3 (cm). Hãy tính:
 a) Bán kính đường tròn đáy của hình nón 
 b) Tính diện tích xung quanh của hình nón
Hướng dẫn giải
 a) Tam giác OAH vuông tại H, ta có:
 AH2 OA 2 OH2 52 32 16
 AH 4 cm 
 Vậy bán kính đường tròn đáy của hình nón là 4 (cm)
 b) Tam giác OAS vuông tại A có AH ⊥ OS. 
 Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có: 
 OA 2 52 25
 OA 2 OH.OS OS cm 
 OH 3 3
 2
 25 400
 SA 2 SO2 OA 2 52 
 3 9
 20
 SA cm 
 3
 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:
 20 80
 S .r.l .HA.SA .4. cm2 
 xq 3 3
 17 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 B.Bài tập tham khảo
 Bài 1: Cho hình nón có diện tích xung quanh là 100 cm2 . Độ dài đường sinh là 25 
 (cm).
 a) Tính bán kính đường tròn đáy.
 b) Tính diện tích toàn phần của hình nón.
Hướng dẫn giải 
 a) Gọi SO là chiều cao, SA là đường sinh của 
 hình nón.
 S
 Ta có S .r.l .r.SA r xq 4 cm 
 xq .SA
 Vậy bán kính đường tròn đáy hình nón là 4 
 (cm).
 b) Diện tích toàn phần hình nón là:
 2 2
 Stp .r.l .r 100 16 116 cm 
 Bài 2: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5cm, số đo diện tích xung quanh (tính bằng 
 cm2) bằng số đo thể tích (tính bằng cm3). Tính chiều cao của hình nón.
Hướng dẫn giải
 Gọi h là chiều cao của hình nón. Đường sinh của hình nón bằng 52 h2 
 Diện tích xung quanh của hình nón bằng: 
 19 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 2 x.4 2 x 2 y y 2 42 y 2
 (2)
 8x 2x 2 y y 2 16 y 2
 Thay y2 3x2 vào (2) ta được
 8x 2x2 x 3. 3x2 16 3x2
 8x x2 x 9x2 48
 8 x 9x2 48
 Bình phương hai vế (với điều kiện x ≤ 8) ta được 
 64 16x x2 9x2 48
 x2 2x 2 0
 Nghiệm dương của phương trình trên là x 3 1
 Khi đó y x 3 3 3
 Vậy bán kính đáy của hình trụ bằng 3 1 0,73 dm , bán kính đáy của hình nón 
bằng 3 3 1,27 dm 
 Bài 4: Cho tam giác AOB vuông cân tại O quay một vòng quanh cạnh OA ta được 
 hình nón. Biết OA = a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón theo a.
Hướng dẫn giải
 Tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O. AB là cạnh 
huyền (cũng là đường sinh của hình nón) nên áp dụng định lý 
Py-ta-go ta được: 
 AB2 OA 2 OB2 a2 a2 2a2
 Do đó: AB a 2
 Chiều cao và bán kính đáy của hình nón là h r a
 Nên diện tích xung quanh là:
 2
 Sxq rl .a.a 2 2 a (đơn vị diện tích)
 Thể tích của hình nón là:
 1 1 1
 V .r 2.h .a2.a a3 (đơn vị thể tích)
 hn 3 3 3
 21 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 Bài 7: Chiều cao của một hình trụ bằng hai lần bán kính đường tròn đáy của nó. Diện 
 tích xung quanh của hình trụ là 200,96 (cm2). Hãy tính:
 a) Bán kính đáy của hình trụ 
 b) Tính thể tích của hình trụ
Hướng dẫn giải
 2
 a) Ta có: Sxq 2 rh 2 .r.2r 4 r 
 Từ đây suy ra:
 4 r 2 200,96
 4.3,14.r 2 200,96
 12,56.r 2 200,96 
 200,96
 r 2 16
 12,56
 Do đó: r = 4 (cm)
 Thể tích của hình trụ l
 V .r 2.h .r 2.2r 2 .r 3 2.3,14.43 401,92 cm3 
 Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao, thiết diện đi qua trục bằng 72 cm2. 
 Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
Hướng dẫn giải:
 Gọi bán kính đáy là r, chiều cao là h. 
 Ta có r = h và 2rh = 72
 Suy ra r = h = 6 cm. 
 Diện tích xung quanh:
 2
 Sxq 2 rh 2 .6.6 72 cm 
 Diện tích toàn phần: 
 2 2 2
 Stp 2 rh 2 r 2 .6.6 2 .6 144 cm 
 Thể tích của hình trụ: 
 V .r 2.h .62.6 216 cm3 
 23 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
12. Một hình trụ có bán kính đáy là 7cm, diện tích xung quanh bằng 352 cm2. Khi đó, 
chiều cao của hình trụ là:
(A) 3,2 cm (B) 4,6 cm (C) 1,8 cm
(D) 2,1 cm (E) Một kết quả khác.
Hãy chọn kết quả đúng.
13. Điền đủ các kết quả vào những ô trống của bảng sau:
Hình Bán kính Chiều cao Chu vi đáy Diện tích Diện tích Thể tích 
 đáy (cm) (cm) (cm) đáy (cm2) xung quanh (cm3)
 (cm2)
 1 10
 5 4
 8 4π
14. Chiều cao của một hình trụ bằng bán kính đường tròn đáy. Diện tích xung quanh 
của hình trụ 314 cm2. Hãy tính bán kính đường tròn đáy và thể tích hình trụ (làm tròn kết 
quả đến chữ số thập phân thứ hai).
15. Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính 
của đường tròn đáy là 4cm, được đặt khít vào một ống giấy 
cứng dạng hình hộp. Tính diện tích phần giấy cứng dùng 
để làm một hộp. (Hộp hở hai đầu, không tính lề và mép 
dán).
16. Cho hình chữ nhật ABCD (AB = 2a, BC = a). Quay hình chữ nhật đó quanh AB thì 
được hình trụ có thể tích V 1; quay BC thì được hình trụ có thể tích V 2. Trong các đẳng 
thức dưới đây, hãy chọn đẳng thức đúng:
(A) V1 = V2 (B) V1 = 2V2 (C) 2V1 = V2
(D) 3V1 = V2 (E) V1 = 3V2
 25 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
20. Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình 85 (lỗ khoan dạng hình trụ), 
tâm kin loại này dày 2cm, đáy của nó là hình vuông cạnh là 5 cm. Đường kính của mũi 
khoan là 8 mm. Hỏi thể tích phần còn lại của tâm kim loại là 
bao nhiêu?
21. Đường ống nối hai bể cá trong một thủy cung ở miền nam nước Pháp có dạng 
một hình trụ, độ dài của đường ống là 30m (h.86). Dung tích của đường ống nói trên là 
1 800 000 lít. Tính diện tích đáy của đường ống.
22. Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập 
phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h.93). 
Hãy tính:
 a) Bán kính đáy của hình nón 
 b) Độ dài đường sinh 
23. Cắt mặt cắt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra 
thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung 
bằng chu vi đáy.
Quan sát hình dưới và tính số đo cung của hình quạt tròn.
 27 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
28. Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ (h.97). Hãy tính 
tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).
29. Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước 
kèm theo (AO = OB).
Hãy so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ.
30. Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (góc α của tam giác vuông 
OAS )sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một một phần tư diện tích của 
hình tròn (bán kính SA).
31. Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một 
hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16cm, số đo cung là 120 o. Tang 
của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:
 2 2
(A) ; (B) (C) 2 (D) 2 2
 4 2
Hãy chọn kết quả đúng. 
32. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai ban kính đáy là a, b (a < 
b) và độ dài đường sinh là l (a, b, l có cùng đơn vị đo)
33. Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài: cm):
Hình Bán kính Đường kính Chiều cao Độ dài Thể tích V 
 đáy r (cm) đáy d (cm) h (cm) đường sinh l (cm3)
 (cm)
 5 12
 16 15
 7 25
 40 29
 29 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
38. Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, 
chiều cao 2r (đơn vị:cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu 
như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện 
tích cả ngoài lẫn trong).
39. Dụng cụ thể thao. Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền 
vào các ô trống ở bảng sau(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):
Loại bóng Quả bóng Quả khúc Quả ten-nít Quả bóng Quả bi-a
 gôn côn cầu bàn
Đường kính 42,7 mm 6,5 cm 40 mm 61 mm
Độ dài đường 23 cm
tròn lớn
Diện tích
Thể tích
Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê (Montgolfier) 
Ngày 4-6-1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra 
khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là hình cầu 
có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn 
kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
40. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và 
một hình trụ (h.110). 
 31 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
 c) Với COˆ A 600 cho hình vẽ quay xung quanh AB. Tính tỉ số thể tích các hình do 
 các tam giác AOC và BOD tạo thành.
46. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).
47. Hãy tính 
thể tích các hình 
dưới đây theo 
kích thước đã 
cho (h.118) (đơn 
vị: cm).
48. Cho hình 
vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF 
là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song 
với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh 
rằng: 
 a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình 
 vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình 
 tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
 b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và 
 diện tích toàn phần của hình nón.
 33 Ứng Dụng Thực Tế Hình Học Không Gian THCS Phú Mỹ
54. Từ một khúc hình trụ cao 15cm người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất. 
Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 640π cm2
 a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ 
 b) Tính diện tích xung quanh hình nón 
55. Với hai quả dưa hấy (Xem như là hai hình cầu) một to và một nhỏ, tỉ số các đường 
kính của chúng là 5:4, nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá của quả nhỏ. Bạn chọn mua 
quả nào thì lợi hơn? (xem “chất lượng” của chúng là như nhau)
56. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Ta quay nửa đường tròn nội tiếp và 
nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này một vòng quanh AH. Tính:
 a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón
 b) Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên 
 c) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình 
 nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón.
57. Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với 
các kích thước kèm theo OA=OB. Khi đó tỉ số tổng thể 
tích của hai hình nón (Vn ) và thể tích của hình trụ (Vt ) 
bằng bao nhiêu. 
58. Để làm cống thoát nước cho một khu vực dân cư người ta cần đúc 500 ống hình trụ 
có đường kính trong và chiều cao của mỗi ống bằng 1m, độ dày của thành ống là 10 cm. 
Chọn mác bê tông là 250 (tức mỗi khối bê tông là 7 bao xi măng). Hỏi phải chuẩn bị bao 
nhiêu bao xi-măng để làm đủ số ống nói trên.
59. Một phần dụng cụ gồm một 
phần có dạng trụ, phần còn lại 
có dạng nón, một hình trụ, 
đường kính đáy 1,4m, chiều 
cao 70cm, và một hình nón, 
bán kính đáy bằng bán kính 
hình trụ, chiều cao hình nón 
bằng 0,9m(Các kích thước cho 
trên hình 100). Khi đó diện tích mặt ngoài của dụng cụ (Không tính nắp đậy) có giá trị là 
bao nhiêu.
 35